指数加权平均的偏差修正

\({{v}_{t}}=\beta {{v}_{t-1}}+(1-\beta ){{\theta }_{t}}\)

在上一个博客中，这个（红色）曲线对应
\(\beta\)
的值为0.9，这个（绿色）曲线对应的
\(\beta\)
=0.98，如果执行写在这里的公式，在
\(\beta\)
等于0.98的时候，得到的并不是绿色曲线，而是紫色曲线，可以注意到紫色曲线的起点较低，来看看怎么处理。

计算移动平均数的时候，初始化
\(v_{0} = 0\)
，
\(v_{1} = 0.98v_{0} +0.02\theta_{1}\)
，但是
\(v_{0} =0\)
，所以这部分没有了（
\(0.98v_{0}\)
），所以
\(v_{1} =0.02\theta_{1}\)
，所以如果一天温度是40华氏度，那么
\(v_{1} = 0.02\theta_{1} =0.02 \times 40 = 8\)
，因此得到的值会小很多，所以第一天温度的估测不准。

\(v_{2} = 0.98v_{1} + 0.02\theta_{2}\)
，如果代入
\(v_{1}\)
，然后相乘，所以
\(v_{2}= 0.98 \times 0.02\theta_{1} + 0.02\theta_{2} = 0.0196\theta_{1} +0.02\theta_{2}\)
，假设
\(\theta_{1}\)
和
\(\theta_{2}\)
都是正数，计算后
\(v_{2}\)
要远小于
\(\theta_{1}\)
和
\(\theta_{2}\)
，所以
\(v_{2}\)
不能很好估测出这一年前两天的温度。

有个办法可以修改这一估测，让估测变得更好，更准确，特别是在估测初期，也就是不用
\(v_{t}\)
，而是用
\(\frac{v_{t}}{1- \beta^{t}}\)
，t就是现在的天数。举个具体例子，当
\(t=2\)
时，
\(1 - \beta^{t} = 1 - {0.98}^{2} = 0.0396\)
，因此对第二天温度的估测变成了
\(\frac{v_{2}}{0.0396} =\frac{0.0196\theta_{1} + 0.02\theta_{2}}{0.0396}\)
，也就是
\(\theta_{1}\)
和
\(\theta_{2}\)
的加权平均数，并去除了偏差。会发现随着
\(t\)
增加，
\(\beta^{t}\)
接近于0，所以当
\(t\)
很大的时候，偏差修正几乎没有作用，因此当
\(t\)
较大的时候，紫线基本和绿线重合了。不过在开始学习阶段，才开始预测热身练习，偏差修正可以帮助更好预测温度，偏差修正可以帮助使结果从紫线变成绿线。

在机器学习中，在计算指数加权平均数的大部分时候，大家不在乎执行偏差修正，因为大部分人宁愿熬过初始时期，拿到具有偏差的估测，然后继续计算下去。如果关心初始时期的偏差，在刚开始计算指数加权移动平均数的时候，偏差修正能帮助在早期获取更好的估测。