一、引例

假设有这样一组数据，它们是腰围和体重一一对应的数据对。我们将根据表中的数据对去估计体重。

表1. 腰围体重表

如果现在给出一个新的腰围 62 ，那么体重的估计值是多少呢？

凭经验，我们认为腰围和体重是正相关的，所以我们会自然地『关注』和 62 差距更小的那些腰围，来去估计体重。也就是更加关注表格中腰围是 60 和 64 的『腰围-体重对』（waistline-weight pairs)。即，我们会估计此人的体重在 110 ~ 115 之间。这是一种定性的分析。

下面我们来算一下具体值。我们选取一种简单直观的方法来计算：
由于 62 距离 60 和 64 的距离是相等的，所以我们取 110 和 115 的平均值作为 62 腰围对应的体重。

\[\frac{110 + 115}{2}=112.5
\]

也可以这样认为，由于 62 距离 60 和 64 是最近的，所以我们更加『注意』它们，又由于 62 到它俩的距离相等，所以我们给这两对『腰围-体重对』各分配 0.5 的权重。

\[0.5\times 110+0.5\times 115=112.5
\]

但是，我们到现在还没有用到过 68 --> 126 这个『腰围-体重对』，我们应该再分一些权重给它，让我们的估计结果更准确。

我们上面的讨论可以总结为公式：$$体重估计值=权重1×体重1+权重2×体重2+权重3×体重3$$

这个权重应该如何计算呢？

二、注意力机制

我们把『腰围-体重对』改写成 Python 语法中（字典）的『键-值对』（key-value pairs），把给出的新腰围 62 叫请求（query），简称
\(q\)
.

现在我们给那些值起了新的名字，所以公式可以写为：$$f(q)=\alpha (q, k_1)\cdot v_1 + \alpha (q, k_2)\cdot v_2 + \alpha (q, k_3)\cdot v_3=\Sigma _{i=1}^{3}\alpha (q, k_i)\cdot v_i$$
这个公式描述了『
注意力机制
』。其中，
\(f(q)\)
表示注意力机制的输出。
\(\alpha (q, k_i)\)
表示『
注意力权重
』。它和
\(q\)
，
\(k_i\)
的相似度有关，相似度越高，注意力权重越高。
它是如何计算的呢？方法有很多，在本例中，我们使用
高斯核
计算：

\[GS(q, k_i)=e^{-\frac{1}{2}(q-k_i)^2}
\]

我们取
\((-\frac{1}{2}(q-k_i)^2)\)
部分进行下一步计算，并把它叫做『
注意力分数
』。显然，现在这个注意力分数是个绝对值很大的数，没法作为权重使用。所以下面我们要对其进行
归一化
，把注意力分数转换为 [0, 1] 间的
注意力权重
（用
\(\alpha (q, k_i)\)
表示）。本例选用
Softmax
进行归一化：

\[\alpha (q, k_i) = \text{Softmax}(-\frac{1}{2}(q-k_i)^2) = \frac{e^{-\frac{1}{2}(q-k_i)^2}}{\Sigma _{i=1}^{3}e^{-\frac{1}{2}(q-k_i)^2}}
\]

我们发现，好巧不巧地，
\(\alpha (q, k_i)\)
最终又变成高斯核的表达式。

本例中的高斯核计算的相似度为：$$GS(62, 68)= 1.52×10^{-8}$$ $$GS(62, 60)= 0.135$$ $$GS(62, 64)= 0.135$$
\(GS(q, k_1)\)
太小了，我们直接近似为 0 .
注意力权重计算结果为：$$\alpha (62, 68) = 0$$ $$\alpha (62, 60) = 0.5$$ $$\alpha (62, 64) = 0.5$$
体重估计值为：$$f(q) = \alpha (62, 68) \times 126 + \alpha (62, 60) \times 110 + \alpha (62, 64) \times 115 = 112.5$$

三、多维情况

当
\(q\)
,
\(k\)
,
\(v\)
为多维时


注意力分数
\(\alpha (q, k_i)\)
可以用以下方法计算：

模型 公式
加性模型 \(\alpha(q, k_i) = \text{softmax}(W_q q + W_k k_i + b)\)
点积模型 \(\alpha(q, k_i) = \frac{q \cdot k_i}{\sqrt{d}}\)
缩放点积模型 \(\alpha(q, k_i) = \frac{q \cdot k_i}{\sqrt{d_k}}\)

我们以『
点积模型
』为例

\[q_1=[64, 85]
\]

\[k_1^T= \begin{bmatrix} 68 \\ 91 \end{bmatrix}
\]

则有

\[\alpha(q_1, k_1) = \text{Softmax}(q_1 k_1^T) = 64 \times 68 + 85 \times 91 = 4352 + 7735 = 12087
\]

其他注意力分数同理。
那么现在，多维的
\(f(q)\)
公式可以表示为：

\[f(q)=\Sigma _{i=1}^{3}\alpha (q_i, k_i^T)\cdot v_i = \text{Softmax}(q_i k_i^T)\cdot v_i
\]

为了方便计算，我们写成矩阵形式。

\[Q = \begin{bmatrix}
64 & 85 \\
61 & 80 \\
\end{bmatrix}
\]

\[K^T = \begin{bmatrix}
68 & 60 & 64 \\
91 & 87 & 88 \\
\end{bmatrix}
\]

\[V = \begin{bmatrix}
126 & 180 \\
110 & 172 \\
115 & 170 \\
\end{bmatrix}
\]

\[f(Q)=\text{Softmax}(QK^T)V
\]

为了缓解梯度消失的问题，我们还会除以一个特征维度 $ \sqrt{d_k} $ ，即：

\[f(Q)=\text{Softmax}(QK^T/\sqrt{d_k})V
\]

这一系列操作，被称为『
缩放点积注意力模型
』（scaled dot-product attention）

如果
\(Q\)
,
\(K\)
,
\(V\)
是同一个矩阵，会发生什么？

四、自注意力机制

我们用
\(X\)
表示这三个相同的矩阵：

\[X=Q=K=V=\begin{bmatrix}
67 & 91 \\
60 & 87 \\
64 & 84 \\
\end{bmatrix}\]

则上述的注意力机制表达式可以写成：

\[f(X)=\text{Softmax}(XX^T/\sqrt{d_k})X
\]

这个公式描述了『
自注意力机制
』（Self-Attention Mechanism）。在实际应用中，可能会对
\(X\)
做不同的线性变换再输入，比如 Transformer 模型。这可能是因为
\(X\)
转换空间后，能更加专注注意力的学习。
三个可学习的权重矩阵
\(W_Q\)
,
\(W_K\)
,
\(W_V\)
可以将输入
\(X\)
投影到查询、键和值的空间。

\[f(X)=\text{Softmax}(XW_Q(XW_K)^T/\sqrt{d_k})XW_V
\]

该公式执行以下步骤：

  1. 使用权重矩阵
    \(W_Q\)
    和
    \(W_K\)
    将输入序列
    \(X\)
    投影到查询空间和键空间，得到
    \(XW_Q\)
    和
    \(XW_K\)
    。
  2. 计算自注意力分数：
    \((XW_Q)(XW_K)^T\)
    ，并除以
    \(\sqrt{d_k}\)
    进行缩放。
  3. 对自注意力分数进行 Softmax 操作，得到注意力权重。
  4. 使用权重矩阵
    \(W_V\)
    将输入序列
    \(X\)
    投影到值空间，得到
    \(XW_V\)
    。
  5. 将 Softmax 的结果乘以
    \(XW_V\)
    ，得到最终的输出。

这个带有权重矩阵的自注意力机制允许模型学习不同位置的查询、键和值的映射关系，从而更灵活地捕捉序列中的信息。在Transformer等模型中，这样的自注意力机制广泛用于提高序列建模的效果。

相关概念推荐阅读：
高斯核是什么？
，
Softmax 函数是什么？
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