Ceres 自动求导解析-从原理到实践
1.0 前言
Ceres 有一个自动求导功能，只要你按照Ceres要求的格式写好目标函数，Ceres会自动帮你计算
精确
的导数（或者雅克比矩阵），这极大节约了算法开发者的时间，但是笔者在使用的时候一直觉得这是个黑盒子，特别是之前在做深度学习的时候，神经网络本事是一个很盒模型了，再加上
pytorch
的自动求导，简直是黑上加黑。现在转入视觉SLAM方向，又碰到了 Ceres 的自动求导，是时候揭开其真实的面纱了。知其然并知其所以然才是一名算法工程师应有的基本素养。
2.0 Ceres求导简介
Ceres 一共有三种求导的方式提供给开发者，分别是：
解析求导，也就是手动计算出导数的解析形式。
例如有如下函数;
\[y = \frac{b_1}{(1+e^{b_2-b_3x})^{1/b_4}}
\]
构建误差函数：
\[\begin{split}\begin{align}
E(b_1, b_2, b_3, b_4)
&= \sum_i f^2(b_1, b_2, b_3, b_4 ; x_i, y_i)\\
&= \sum_i \left(\frac{b_1}{(1+e^{b_2-b_3x_i})^{1/b_4}} - y_i\right)^2\\
\end{align}\end{split}
\]
对待优化变量的导数为：
\[\begin{split}\begin{align}
D_1 f(b_1, b_2, b_3, b_4; x,y) &= \frac{1}{(1+e^{b_2-b_3x})^{1/b_4}}\\
D_2 f(b_1, b_2, b_3, b_4; x,y) &=
\frac{-b_1e^{b_2-b_3x}}{b_4(1+e^{b_2-b_3x})^{1/b_4 + 1}} \\
D_3 f(b_1, b_2, b_3, b_4; x,y) &=
\frac{b_1xe^{b_2-b_3x}}{b_4(1+e^{b_2-b_3x})^{1/b_4 + 1}} \\
D_4 f(b_1, b_2, b_3, b_4; x,y) & = \frac{b_1 \log\left(1+e^{b_2-b_3x}\right) }{b_4^2(1+e^{b_2-b_3x})^{1/b_4}}
\end{align}\end{split}
\]
数值求导，当对变量增加一个微小的增量，然后观察此时的残差和原先残差的下降比例即可，其实就是导数的定义。
\[Df(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
\]
当然其实也有两种形式对导数进行数值上的近似，第一种是Forward Differences：
\[Df(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
\]
第二种是 Central Differences：
\[Df(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}
\]
Ceres 的官方文档上是认为第二种比第一种好的，但是其实官方还介绍了第三种，这里就不详说了，感兴趣的可以去看官方文档：
Ridders’ Method
。
这里有三种数值微分方法的效果对比，从右向左看：
效果依次是
\(Ridders > Central > Forwad\)
3.0 Ceres 自动求导原理
3.1 官方解释
其实官方对自动求导做出了解释，但是笔者觉得写的不够直观，比较抽象，不过既然是官方出品，还是非常有必要去看一看的。
http://ceres-solver.org/automatic_derivatives.html
。
3.2 自我理解
\(\quad\)
这里笔者根据网上和官方的资料整理了一下自己的理解。Ceres 自动求导的核心是运算符的重载与Ceres自有的 Jet 变量。
举一个例子：
函数
\(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{h}(\mathrm{x}) * \mathrm{~g}(\mathrm{x})\)
, 他的目标函数值为
\(\mathrm{h}(\mathrm{x}) * \mathrm{~g}(\mathrm{x})\)
, 导数为
\[\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{h}^{\prime}(\mathrm{x}) \mathrm{g}(\mathrm{x})+\mathrm{h}(\mathrm{x}) \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})
\]
其中
\(h(x)\)
,
\(g(x)\)
都是标量函数.
如果我们定义一种数据类型,
\[Data \{ double\ \ value, double\ \ derived \}
\]
并且对于数据类型 Data，重载乘法运算符
\[data1*data2=\begin{bmatrix}
data1.value*data2.value \\
data1.derived*data2.value+data1.value*data2.derived
\end{bmatrix}
\]
令
\(h(x) =[h(x),{h(x)}' ] , g(x)=[g(x),{g(x)' }]\)
。
\(f(x)=h(x) * g(x)\)
, 那么
f_x.derived
就是
\(f(x)\)
的导数，
f_x.value
即为
\(f(x)\)
的数值。value 储存变量的函数值, derived 储存变量对
\(\mathrm{x}\)
的导数。类似，如果我们对数据类型 Data 重载所有可能用到的运算符. “
\(+- * / \log , \exp , \cdots\)
” 。那么在变量
\(h(x),g(x)\)
经过任意次运算后，
\(result=h(x)+g(x)*h(x)+exp(h(x))…\)
, 任然能获得函数值
result.value
和他的导数值
result.derived
，这就是Ceres 自动求导的原理。
上面讲的都是单一自变量的自动求导，对于多元函数
\(f(x_i)\)
。对于n 元函数，Data 里面的 double derived 就替换为 double* derived，derived[i] 为对于第i个自变量的导数值。
并且对于数据类型 Data，乘法运算符重载为
\[data1*data2=\begin{bmatrix}
data1.value*data2.value \\
derived[i]=data1.derived[i]*data2.value+data1.value*data2.derived[i]
\end{bmatrix}
\]
其余的运算符重载方法也做相应改变。这样对多元函数的自动求导问题也就解决了。Ceres 里面的Jet 数据类型类似于 这里Data 类型，并且Ceres 对Jet 数据类型进行了几乎所有数学运算符的重载，以达到自动求导的目的。
4.0 实践
4.1 Jet 的实现
这里我们模仿 Ceres 实现了 Jet ，并准备了两个具体的示例程序，Jet 具体代码在
ceres_jet.hpp
中，包装成了一个头文件，在使用的时候进行调用即可。这里也包含了一个
ceres_rotation.hpp
的头文件，是为了我们的第二个例子实现。具体代码如下：
#ifndef _CERES_JET_HPP__
#define _CERES_JET_HPP__
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <eigen3/Eigen/Core>
#include <eigen3/Eigen/Dense>
#include <eigen3/Eigen/Sparse>
#include "eigen3/Eigen/Eigen"
#include "eigen3/Eigen/SparseQR"
#include <fstream>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
#include "ceres_rotation.hpp"
#include "algorithm"
#include "stdlib.h"
template <int N>
struct jet
{
Eigen::Matrix<double, N, 1> v;
double a;
jet() : a(0.0) {}
jet(const double& value) : a(value) { v.setZero(); }
EIGEN_STRONG_INLINE jet(const double& value,
const Eigen::Matrix<double, N, 1>& v_)
: a(value), v(v_)
{
}
jet(const double value, const int index)
{
v.setZero();
a = value;
v(index, 0) = 1.0;
}
void init(const double value, const int index)
{
v.setZero();
a = value;
v(index, 0) = 1.0;
}
};
/****************jet overload******************/
// for the camera BA,the autodiff only need overload the operator :jet+jet
// number+jet -jet jet-number jet*jet number/jet jet/jet sqrt(jet) cos(jet)
// sin(jet) +=(jet) overload jet + jet
template <int N>
inline jet<N> operator+(const jet<N>& A, const jet<N>& B)
{
return jet<N>(A.a + B.a, A.v + B.v);
} // end jet+jet
// overload number + jet
template <int N>
inline jet<N> operator+(double A, const jet<N>& B)
{
return jet<N>(A + B.a, B.v);
} // end number+jet
template <int N>
inline jet<N> operator+(const jet<N>& B, double A)
{
return jet<N>(A + B.a, B.v);
} // end number+jet
// overload jet-number
template <int N>
inline jet<N> operator-(const jet<N>& A, double B)
{
return jet<N>(A.a - B, A.v);
}
// overload number * jet because jet *jet need A.a *B.v+B.a*A.v.So the number
// *jet is required
template <int N>
inline jet<N> operator*(double A, const jet<N>& B)
{
return jet<N>(A * B.a, A * B.v);
}
template <int N>
inline jet<N> operator*(const jet<N>& A, double B)
{
return jet<N>(B * A.a, B * A.v);
}
// overload -jet
template <int N>
inline jet<N> operator-(const jet<N>& A)
{
return jet<N>(-A.a, -A.v);
}
template <int N>
inline jet<N> operator-(double A, const jet<N>& B)
{
return jet<N>(A - B.a, -B.v);
}
template <int N>
inline jet<N> operator-(const jet<N>& A, const jet<N>& B)
{
return jet<N>(A.a - B.a, A.v - B.v);
}
// overload jet*jet
template <int N>
inline jet<N> operator*(const jet<N>& A, const jet<N>& B)
{
return jet<N>(A.a * B.a, B.a * A.v + A.a * B.v);
}
// overload number/jet
template <int N>
inline jet<N> operator/(double A, const jet<N>& B)
{
return jet<N>(A / B.a, -A * B.v / (B.a * B.a));
}
// overload jet/jet
template <int N>
inline jet<N> operator/(const jet<N>& A, const jet<N>& B)
{
// This uses:
//
// a + u (a + u)(b - v) (a + u)(b - v)
// ----- = -------------- = --------------
// b + v (b + v)(b - v) b^2
//
// which holds because v*v = 0.
const double a_inverse = 1.0 / B.a;
const double abyb = A.a * a_inverse;
return jet<N>(abyb, (A.v - abyb * B.v) * a_inverse);
}
// sqrt(jet)
template <int N>
inline jet<N> sqrt(const jet<N>& A)
{
double t = std::sqrt(A.a);
return jet<N>(t, 1.0 / (2.0 * t) * A.v);
}
// cos(jet)
template <int N>
inline jet<N> cos(const jet<N>& A)
{
return jet<N>(std::cos(A.a), -std::sin(A.a) * A.v);
}
template <int N>
inline jet<N> sin(const jet<N>& A)
{
return jet<N>(std::sin(A.a), std::cos(A.a) * A.v);
}
template <int N>
inline bool operator>(const jet<N>& f, const jet<N>& g)
{
return f.a > g.a;
}
#endif //_CERES_JET_HPP__
#ifndef CERES_ROTATION_HPP_
#define CERES_ROTATION_HPP_
#include <iostream>
template <typename T>
inline T DotProduct(const T x[3], const T y[3])
{
return (x[0] * y[0] + x[1] * y[1] + x[2] * y[2]);
}
template <typename T>
inline void AngleAxisRotatePoint(const T angle_axis[3], const T pt[3],
T result[3])
{
const T theta2 = DotProduct(angle_axis, angle_axis);
if (theta2 > T(std::numeric_limits<double>::epsilon()))
{
// Away from zero, use the rodriguez formula
//
// result = pt costheta +
// (w x pt) * sintheta +
// w (w . pt) (1 - costheta)
//
// We want to be careful to only evaluate the square root if the
// norm of the angle_axis vector is greater than zero. Otherwise
// we get a division by zero.
//
const T theta = sqrt(theta2);
const T costheta = cos(theta);
const T sintheta = sin(theta);
const T theta_inverse = T(1.0) / theta;
const T w[3] = {angle_axis[0] * theta_inverse,
angle_axis[1] * theta_inverse,
angle_axis[2] * theta_inverse};
// Explicitly inlined evaluation of the cross product for
// performance reasons.
const T w_cross_pt[3] = {w[1] * pt[2] - w[2] * pt[1],
w[2] * pt[0] - w[0] * pt[2],
w[0] * pt[1] - w[1] * pt[0]};
const T tmp =
(w[0] * pt[0] + w[1] * pt[1] + w[2] * pt[2]) * (T(1.0) - costheta);
result[0] = pt[0] * costheta + w_cross_pt[0] * sintheta + w[0] * tmp;
result[1] = pt[1] * costheta + w_cross_pt[1] * sintheta + w[1] * tmp;
result[2] = pt[2] * costheta + w_cross_pt[2] * sintheta + w[2] * tmp;
}
else
{
// Near zero, the first order Taylor approximation of the rotation
// matrix R corresponding to a vector w and angle w is
//
// R = I + hat(w) * sin(theta)
//
// But sintheta ~ theta and theta * w = angle_axis, which gives us
//
// R = I + hat(w)
//
// and actually performing multiplication with the point pt, gives us
// R * pt = pt + w x pt.
//
// Switching to the Taylor expansion near zero provides meaningful
// derivatives when evaluated using Jets.
//
// Explicitly inlined evaluation of the cross product for
// performance reasons.
const T w_cross_pt[3] = {angle_axis[1] * pt[2] - angle_axis[2] * pt[1],
angle_axis[2] * pt[0] - angle_axis[0] * pt[2],
angle_axis[0] * pt[1] - angle_axis[1] * pt[0]};
result[0] = pt[0] + w_cross_pt[0];
result[1] = pt[1] + w_cross_pt[1];
result[2] = pt[2] + w_cross_pt[2];
}
}
#endif // CERES_ROTATION_HPP_
4.2 多项式函数自动求导
这里我们准备了两个实践案例，一个是对下面的函数进行自动求导，求在
\(f(1,2)\)
处的导数。
\[f(x,y)=2x^2+3y^3+3
\]
代码如下：
#include <eigen3/Eigen/Core>
#include <eigen3/Eigen/Dense>
#include "ceres_jet.hpp"
int main(int argc, char const *argv[])
{
/// f(x,y) = 2*x^2 + 3*y^3 + 3
/// 残差的维度，变量1的维度，变量2的维度
const int N = 1, N1 = 1, N2 = 1;
Eigen::Matrix<double, N, N1> jacobian_parameter1;
Eigen::Matrix<double, N, N2> jacobian_parameter2;
Eigen::Matrix<double, N, 1> jacobi_residual;
/// 模板参数为向量的维度，一定要是 N1+N2
/// 也就是总的变量的维度，因为要存储结果（残差）
/// 对于每个变量的导数值
/// 至于为什么有 N1 个 jet 表示 var_x
/// 假设变量 1 的维度为 N1,则残差对该变量的导数的维度是一个 N*N1 的矩阵
/// 一个 jet<N1 + N2> 只能表示变量中的某一个在当前点的导数和值
jet<N1 + N2> var_x[N1];
jet<N1 + N2> var_y[N2];
jet<N1 + N2> residual[N];
/// 假设我们求上面的方程在 (x,y)->(1.0,2.0) 处的导数值
double var_x_init_value[N1] = {1.0};
double var_y_init_value[N1] = {2.0};
for (int i = 0; i < N1; i++)
{
var_x[i].init(var_x_init_value[i], i);
}
for (int i = 0; i < N2; i++)
{
var_y[i].init(var_y_init_value[i], i + N1);
}
/// f(x,y) = 2*x^2 + 3*y^3 + 3
/// f_x` = 4x
/// f_y` = 9 * y^2
residual[0] = 2.0 * var_x[0] * var_x[0] + 3.0 * var_y[0] * var_y[0] * var_y[0] + 3.0;
std::cout << "residual: " << residual[0].a << std::endl;
std::cout << "jacobian: " << residual[0].v.transpose() << std::endl;
/// residual: 29
/// jacobian: 4 36
return 0;
}
4.3 BA 问题中的自动求导
这里是用的 Bal 数据集中的某个观测构建的误差项求导
#include "ceres_jet.hpp"
class costfunction
{
public:
double x_;
double y_;
costfunction(double x, double y) : x_(x), y_(y) {}
template <class T>
void Evaluate(const T* camera, const T* point, T* residual)
{
T result[3];
AngleAxisRotatePoint(camera, point, result);
result[0] = result[0] + camera[3];
result[1] = result[1] + camera[4];
result[2] = result[2] + camera[5];
T xp = -result[0] / result[2];
T yp = -result[1] / result[2];
T r2 = xp * xp + yp * yp;
T distortion = 1.0 + r2 * (camera[7] + camera[8] * r2);
T predicted_x = camera[6] * distortion * xp;
T predicted_y = camera[6] * distortion * yp;
residual[0] = predicted_x - x_;
residual[1] = predicted_y - y_;
}
};
int main(int argc, char const* argv[])
{
const int N = 2, N1 = 9, N2 = 3;
Eigen::Matrix<double, N, N1> jacobi_parameter_1;
Eigen::Matrix<double, N, N2> jacobi_parameter_2;
Eigen::Matrix<double, N, 1> jacobi_residual;
costfunction* costfunction_ = new costfunction(-3.326500e+02, 2.620900e+02);
jet<N1 + N2> cameraJet[N1];
jet<N1 + N2> pointJet[N2];
double params_1[N1] = {
1.5741515942940262e-02, -1.2790936163850642e-02, -4.4008498081980789e-03,
-3.4093839577186584e-02, -1.0751387104921525e-01, 1.1202240291236032e+00,
3.9975152639358436e+02, -3.1770643852803579e-07, 5.8820490534594022e-13};
double params_2[N2] = {-0.612000157172, 0.571759047760, -1.847081276455};
for (int i = 0; i < N1; i++)
{
cameraJet[i].init(params_1[i], i);
}
for (int i = 0; i < N2; i++)
{
pointJet[i].init(params_2[i], i + N1);
}
jet<N1 + N2>* residual = new jet<N1 + N2>[N];
costfunction_->Evaluate(cameraJet, pointJet, residual);
for (int i = 0; i < N; i++)
{
jacobi_residual(i, 0) = residual[i].a;
}
for (int i = 0; i < N; i++)
{
jacobi_parameter_1.row(i) = residual[i].v.head(N1);
jacobi_parameter_2.row(i) = residual[i].v.tail(N2);
}
/*
real result:
jacobi_parameter_1:
-283.512 -1296.34 -320.603 551.177 0.000204691 -471.095 -0.854706 -409.362 -490.465
1242.05 220.93 -332.566 0.000204691 551.177 376.9 0.68381 327.511 392.397
jacobi_parameter_2:
545.118 -5.05828 -478.067
2.32675 557.047 368.163
jacobi_residual:
-9.02023
11.264
*/
std::cout << "jacobi_parameter_1: \n" << jacobi_parameter_1 << std::endl;
std::cout << "jacobi_parameter_2: \n" << jacobi_parameter_2 << std::endl;
std::cout << "jacobi_residual: \n" << jacobi_residual << std::endl;
delete (residual);
return 0;
}
Reference
