【填算符】（log 值域的做法）
填算符
下发题解说的神马东西，赛时根本想不到
讲一个赛时想得到的
\(O(n\log 值域)\)
的思路，很好理解
我们处理出二进制下每一位上的 1 的最后一次出现的位置，
将第
\(i\ (i\in[0,60])\)
位上的 1 最后一次出现的位置记作
\(pos_i\)
同时我们设
\(H=n-k-1\)
为总共有的
bitor
的操作数
有以下结论：由于
\(pos_i\)
是
\(i\)
位上最后一个 1，所以一旦它后面放了一个 与，这一位上就是 0 了；若我们想要这一位为 1，必须至少满足从
\(pos_i\)
到最后的运算符全是
bitor
。
发现有以下情况：
若
\(n-pos_i>H\)
，即
\(pos_i\)
之后需要放的运算符的数量比
bitor
的总操作数多，也就是说在
\(pos_i\)
之后我一定需要放
bitand
操作，所以这种情况下这一位一定不对答案有贡献若
\(n-pos_i<H\)
，也就是说我可以从
\(pos_i\)
的前一个位置开始到最后全放
bitor
操作，那么这样第
\(i\)
位上可以是 1，为了使值最大，所以第
\(i\)
位上一定要是 1，所以从第
\(pos_i\)
位到最后必须全是
bitor
操作，
对于这种情况的
\(i\)
我们记为合法位若
\(n-pos_i=H\)
，也就是说从第
\(pos_i\)
到最后的运算符可以全是
bitor
操作，但
\(pos_i\)
的前一位只能是
bitand
所以我们
特判从第 1 个位置到
\(pos_i\)
的前一位全放
bitand
能不能让到第
\(pos_i\)
个数时得到的值第 $\forall $
\(j 满足 [pos_j=pos_i]\)
位为 1，若能则该位也为合法位，否则不合法
对于所有合法位的
\(pos\)
取最小值设为
\(end\)
，因为已经保证
\(end\)
到最后的预算符全是
bitor
，此时有一下两种可能，而我们想尽量构成第二种可能：
\(end\)
的前一位预算符也为
bitor
，这样我们一定能达到答案最大了
，想使答案最优直接让从
\(end-2\)
开始的
\(k\)
个运算符为
bitor
就好了\(end\)
的前一位在某些情况为
bitand
也是可以使答案最大的，所以我们
判断能不能让
\(end\)
的前一位为
bitand
同样使答案最大；
发现可以的条件相当于从第
\(end-1\)
个数到最前面用仅剩的
bitor
操作得到一个答案，使得这个答案第 $\forall $
\(i 满足 [pos_i=end]\)
位为 1，若能满足条件则第
\(end-1\)
个操作符为
bitand
。
满足条件的判断又和上述的第三个情况判断一致了，相当于以
\(end-1\)
为下界，再做一次求
\(min(合法的\ pos)\)
，实质上是不断的递归。
形式化如下：
所以一个递归
\(dfs(end, H)\)
表示下界为
\(end\)
，还剩
\(H\)
个
bitor
操作，判断能不能得到我想要的答案：
若不能则直接从第
\(end-2\)
开始的
\(k-res\)
个运算符全为
bitand
就是答案（
\(res\)
为在之前的递归中已经确定的
bitand
的个数）
若能
则第
\(end-1\)
个位置可以为
bitand
，并设
\(end'=min(这一层中合法的\ pos)\)
，
继续递归
\(dfs(end',H-(end-end'))\)
判断第
\(end'-1\)
个位置能不能为
bitand
。
code：
#include<bits/stdc++.h>
#define Aqrfre(x, y) freopen(#x ".in", "r", stdin),freopen(#y ".out", "w", stdout)
#define mp make_pair
#define Type ll
#define qr(x) x=read()
typedef __int128 INT;
typedef long long ll;
using namespace std;
inline ll read(){
char c=getchar(); ll x=0, f=1;
while(!isdigit(c)) (c=='-'?f=-1:f=1), c=getchar();
while(isdigit(c)) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48), c=getchar();
return x*f;
}
const int N = 1e6 + 5;
const int maxn = 1e8;
int n, k, K; ll a[N], b[N];
int la[62], pre[62][N], zh[62], X;
vector<int>v[N], ans, tem, num;
inline bool check(int pos, int op){ // 判断从第一个运算符到第 pos 个全为 & 能不能使得到的值满足条件
int now = pos + 1; ll x = 0;
for(int i : v[now]) x += (1 << i);
if(~X) x += (1 << X);
int y = a[1];
for(int i=2; i<=now; i++)
y = y & a[i];
if(y & x == x) return true;
return false;
}
inline void dfs(int pos, int H){ // 递归函数
if(pos <= 0 and H <= 0) return;
int now = pos + 1, end = 2e9;
bool f = true; X = -1;
for(int x : tem) v[pre[x][now]].clear(); //为方便更新新的一层的 V ，先清空
for(int x : tem){
if(pos - pre[x][now] > H or !pre[x][now]){
f = false; break;
}
else if(pos - pre[x][now] < H) // 合法则更新 end 并加入 V
end = min(end, pre[x][now] - 1), v[pre[x][now]].emplace_back(x);
else{
X = x;
if(pre[x][now] == 1 or check(pre[x][now] - 1, 1))
end = min(end, pre[x][now] - 1), v[pre[x][now]].emplace_back(x);
else f = false;
}
}
if(f) ans.emplace_back(pos), k--; // pos 位可以为 &，加到答案中
if(!k) return;
if(f and end >= k){
tem.clear(); for(int x : v[end+1]) tem.emplace_back(x);
dfs(end, H-(pos-end-1)); //继续递归判断 end 位可否为 &
}
else{
int cnt = k; // pos 位不可以为 &，则最优方案为从 pos-1 到 pos-cnt 全为 &
for(int i=pos-cnt; i<pos; i++)
k--, cout<<i<<" ";
return;
}
}
signed main(){ // bitop
Aqrfre(bitop, bitop);
qr(n); qr(k); K = k;
for(int i=1; i<=n; i++){
qr(a[i]);
for(int j=0; j<62; j++){
if(a[i] & (1ll << j)) pre[j][i] = la[j], la[j] = i;
else pre[j][i] = pre[j-ans.size()][i-1]; // 二进制下第 j 位为 1 在第 i 个数之前一次出现的位置
}
}
if(k == n - 1){
for(int i=1; i<=k; i++) cout<<i<<" ";
return 0;
}
for(int j=0; j<62; j++) // V 存当前这一层递归的下界包含的 最后一个 1 出现在这个下界的 二进制位
if(la[j]) zh[j] = la[j], v[zh[j]].emplace_back(j);
int H = n - 1 - k, endi = 1e9; bool go = false;
for(int i=0; i<62; i++){ // 把第一次递归剖出来单独做
if(!zh[i]) continue;
if(n - zh[i] > H) continue;
if(n - zh[i] < H){
endi = min(endi, zh[i] - 1);
continue;
}
if(go) continue;
if(n - zh[i] == H){
if(check(zh[i] - 1, 0)){ //特殊的：合法直接输出
for(int i=1; i<=k; i++)
cout<<i<<" ";
return 0;
}
go = true;
}
}
for(int x : v[endi+1]) tem.emplace_back(x); //tem 暂存下界这个数的 V
H -= (n - endi - 1);
dfs(endi, H);
sort(ans.begin(), ans.end());
for(int x : ans) cout<<x<<" ";
return 0;
}
