$\Gamma$函数

$\Gamma$函数（Gamma函数）是阶乘函数在实数和复数域的扩展。对于正整数$n$，阶乘函数表示为$n! = 1 \times 2 \times ... \times n$。然而，这个定义仅适用于正整数。Gamma函数的目的是将阶乘扩展到实数和复数域，从而计算实数和复数的“阶乘”。$\Gamma$函数定义如下：

$\displaystyle \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t} dt $

其中，$x$是一个复数，定义域是$\{x|x\in C- Z^--\{0\}\}$，也就是除了负整数和$0$之外的所有复数。通过这个定义，$\Gamma$函数可以用来计算实数和复数的“阶乘”。在实数域与复数域的可视化如下：

$\Gamma$函数具有以下性质：

1、对于正整数$n$，有$\Gamma(n) = (n - 1)!$。这表明$\Gamma$函数在正整数上与阶乘函数相符。

2、$\Gamma$函数满足递推关系：$\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)$（注意和整数阶乘的联系）。

3、$\Gamma$函数用于定义很多常见的概率分布，如$\Gamma$分布、Beta分布和t分布等。

$\Beta$分布

基于伯努利实验的推导

$\Beta$分布（Beta分布）与伯努利试验相关。在伯努利试验中，假设硬币朝上的概率为$p$。当抛$a+b$次硬币，硬币朝上的次数为$a$时，计算该情况的概率为

$ \displaystyle C_{a+b}^ap^a(1-p)^b$

上式表示二项分布在这一事件（即$a+b$次实验，$a$次正面）下的概率。则$\Beta$分布表示：把概率$p$看做随机变量，固定$a,b$，发生相应事件的概率分布。为了获取$\Beta$分布的概率密度，需要计算以上概率关于$p$的积分的归一化系数$k$，使得：

$\displaystyle k \int_0^1C_{a+b}^ap^a(1-p)^b  dp=1$

推导出

$\displaystyle k =\left(\int_0^1C_{a+b}^ap^a(1-p)^b dp\right)^{-1}=a+b+1 $

以上积分我不会算，但是可以通过以下程序来验证。

from scipy.special importcombdef Int(func, l, h, n=1000): #模拟定积分
    a =np.linspace(l, h, n)return func(a).sum()*(h-l)/n

a, b= 5, 2 #取任意整数
k = a + b + 1
deffunc(x):return comb(a+b, a) * (x**a) *((1-x)**b)

Int(func, 0,1) * k #= 1

获得概率密度函数：

$ \begin{align} f(p; a, b)&=(a+b+1)C_{a+b}^ap^a(1-p)^b\\ &=\frac{(a+b+1)!}{a!b!}p^a(1-p)^b\\ \end{align} $

把阶乘拓展为$\Gamma$函数，上式就变成

$ \begin{align}f(p; a, b)= \frac{\Gamma(a+b+2)}{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}p^a(1-p)^b\end{align}$

令$a=\alpha-1,b=\beta-1,p=x$，就可以得到常见的$\Beta$分布的密度函数表示形式：

$ \begin{align}\displaystyle f(x;\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}=\frac{1}{\Beta(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\end{align}$

其中$\Beta(\alpha,\beta)$为$\Beta$函数，$\alpha>0,\beta>0,0<x<1$。关于均值、方差什么的这里就不赘述了。

联合概率密度

正整数情况

关于(2)式，我们把其中的$a,b,p$都看作随机变量，再除以一个归一化系数，就可以构成这三个随机变量的联合概率密度，从而可以非常直观地理解$\Beta$分布。分别固定抽样次数$n=0,1,2,5,10,15$，可视化如下：

其中，当以抽样概率$p$为条件时，在y轴上，就是离散的关于$a$的二项分布。当以$a$为条件时，在x轴上，就是连续的关于$p$的$\Beta$分布。可以观察到，当$a<b$时，$\Beta$分布左偏，否则右偏，在$n=0$时，变为均匀分布。

此外，当在y轴方向上进行求和，可以得到$p$的边缘分布，为均匀分布；而当在x轴方向上进行积分，得到$a$的边缘分布，也是均匀分布。但感觉边缘分布似乎没有什么意义，不知理解是否正确。可视化代码如下：

importmatplotlib.pyplot as pltfrom scipy.special importgammaimportnumpy as npimportmatplotlib 

matplotlib.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman'

defBeta(a, b, p):

    g1, g2, g3= gamma(a+b+2), gamma(a+1), gamma(b+1)return g1/(g2*g3) * p**(a) * (1-p)**(b)def BetaHot(n, samp_n = 1000):

    p= np.linspace(0, 1, samp_n)

    a= np.linspace(0, n, n+1)

    P, A=np.meshgrid(p, a)



    Z= Beta(A, n-A, P)/(n+1)

    per_width= samp_n//(n+1)

    Z1=np.repeat(Z, per_width, 0)#热力图
    plt.imshow(Z1, origin='lower', cmap='Blues')

    plt.colorbar()#关于p的密度图
    for i, t inenumerate(Z):

        plt.plot(np.linspace(-0.5, samp_n-0.5, samp_n), i*per_width+per_width*t-0.5, '--', c='red')#绘图设置
    plt.xlabel("p")

    plt.ylabel('a')

    old_yticks= np.linspace(per_width/2-0.5, Z1.shape[0]-0.5-per_width/2, n+1)

    plt.yticks(old_yticks, [f'{i:.0f}' for i in np.linspace(0, n, n+1)])

    old_xticks= np.linspace(-0.5, samp_n-0.5, 6)

    plt.xticks(old_xticks, [f'{i:.1f}' for i in np.linspace(0, 1, 6)])

    plt.ylim([0, samp_n+4])

    plt.title("n = a + b = %d"%n)

    plt.savefig('img/n = %d.png'%n)

    plt.show()for n in [0, 1, 2, 5, 10, 15]:

    BetaHot(n)

一般情况

以上可视化的是$a,b$取为正整数时$\Beta$分布的情况，即(2)式。对于更一般的情况(4)式，即取$\alpha,\beta$为大于0的实数，在(3)式中就是$a>-1,b>-1$，尽管并不符合真实伯努利试验的情况，但仍可以计算。可视化如下：

可以看出，$a,b$都小于0时，密度函数会变成U形。且依旧是，$a$相比$b$越小，形状越往左偏。可视化代码如下：

importmatplotlib.pyplot as pltfrom scipy.special importgammaimportnumpy as npimportmatplotlib 

matplotlib.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman'

defBeta(a, b, p):

    g1, g2, g3= gamma(a+b+2), gamma(a+1), gamma(b+1)

    beta= g1/(g2*g3) * p**(a) * (1-p)**(b)returnbetafor n in [-1, 0, 1, 2, 5, 10]:for a in np.linspace(-0.9, n+0.9, 3):

        p= np.linspace(0.0001, 0.9999, 300)

        b= n-a

        y=Beta(a, b, p)

        plt.plot(p, y, label="a = %.1f, b = %.1f"%(a, b))

    plt.legend(loc='upper center')

    plt.ylim([-0.1, 3])

    plt.title('a + b = %.1f' %n)

    plt.savefig('img/a + b = %.1f.png' %n)

    plt.show()

狄利克雷分布

狄利克雷分布是$\Beta$分布在高维上的推广。也就是把伯努利实验得到的二项分布变成多项分布（比如骰子实验），相应地得到狄利克雷分布。狄利克雷分布中的正单纯形，即表示多项分布每种抽样的概率之和为1。

参考

1.  共轭先验：
https://www.zhihu.com/question/41846423?sort=created

2. 狄利克雷分布：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/425388698

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