接上题

第五题（Modular Inverting）

在模运算中，如果我们要解决形如a * x ≡ b mod m的方程，其中a，b，m是已知整数，x是未知整数，我们可以使用扩展欧几里得算法来找到x的值。但是，如果m是一个质数，我们可以使用费马小定理来计算a的逆元，即a关于模m的倒数。

具体来说，如果p是一个素数，a是p的倍数之外的任意整数，那么a的逆元a^-1就是满足下列等式的整数b：

a * b ≡ 1 mod p

这里，b就是a在模p意义下的逆元。例如，假设我们要求解3在模13意义下的逆元，也就是找到一个整数b满足3 * b ≡ 1 mod 13。根据费马小定理，3^11 ≡ 1 mod 13，因此3的逆元就是3^10，即9。因为3 * 9 ≡ 1 mod 13。

综上所述，如果我们知道一个数a在模p意义下的逆元b，那么我们就可以用a * b ≡ 1 mod p来验证b是不是a的逆元，也可以用a * b对p取模来计算a在模p意义下的倒数。
python代码如下：

def find_inverse(a, p):
    """
    使用费马小定理计算a在模p意义下的逆元。
    """
    if gcd(a, p) != 1:
        raise ValueError("a和p必须互质")
    return pow(a, p-2, p)

def gcd(a, b):
    """
    使用欧几里得算法计算a和b的最大公因数。
    """
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)
print(find_inverse(3,13))

第六题（Quadratic Residues)

 在模块化算术中，模平方剩余 (QR) 是一个整数，它与完全平方模某个整数模的整数全等。更正式地说，如果存在整数 x，则整数 a 是对整数 p 取模的二次留数，使得：

x^2 ≡ a (mod p)

如果这样的整数 x 存在，我们说 a 是二次留数模 p 并写成 a ≡ x^2 (mod p)。

如果不存在这样的整数 x，则 a 称为二次无余数模 p。

所有二次留数模 p 的集合用 QR(p) 表示，所有二次模非平方剩余 p 的集合用 QNR(p) 表示。

确定一个整数是二次剩余还是非剩余模给定素数 p 是数论中的一个重要问题，在密码学、编码理论和其他领域有各种应用。二次互易定律提供了一个强大的工具来确定二次留数和非留数模素数，以及计算勒让德符号，勒让德符号是一个相关的数学函数，可用于确定二次留数和非留数对任何奇数取模。
题目给了p = 29 , i n ts = [ 14 , 6 , 11 ]，找到三个书中的QR的那一个，解出这个数的模平方根，小的一个根即flag.
上代码：

def quad_residue(x, p):
    """
    检查 x 是否是有限域 F_p 中的二次留数。
如果 x 是二次剩余，则返回 True，否则返回 False。
    """
    for a in range(1, p):
        if pow(a, 2, p) == x:
            return True
    return False

def solve_quad_residue(x, p):
    """
    在有限域 F_p 中求解方程 a^2 = x，其中 p 是质数模数。
返回两个解的元组（如果存在），如果 x 不是二次残差则返回 None。
    """
    if not quad_residue(x, p):
        return None
    solutions = []
    for a in range(1, p):
        if pow(a, 2, p) == x:
            solutions.append(a)
            solutions.append(p - a) # 添加负解
            break
    return tuple(solutions)


p = 29
ints = [14, 6, 11]
for x in ints:
    print(f"x = {x}")
    solutions = solve_quad_residue(x, p)
    if solutions:
        print(f"Solutions: {solutions}")
    else:
        print("Not a quadratic residue")

第七题（Legendre Symbol）

p = 101524035174539890485408575671085261788758965189060164484385690801466167356667036677932998889725476582421738788500738738503134356158197247473850273565349249573867251280253564698939768700489401960767007716413932851838937641880157263936985954881657889497583485535527613578457628399173971810541670838543309159139
ints = [25081841204695904475894082974192007718642931811040324543182130088804239047149283334700530600468528298920930150221871666297194395061462592781551275161695466666667049544771049769000895119729307495913024360169904315078028798025169985966732789207320203861858234048872508633514498384390497048416012928086480326832803, 45471765180330439060504647480621449634904192839383897212809808339619841633826534856109999027962620381874878086991125854247108359699799913776917227058286090426484548349388138935504299609200377899052716663351188664096302672712078508601311725863678223874157861163196340391008634419348573975841578359355931590666666, 17364140182001694956465593533200623738590196990236340894554145562517924989208719245429557645254953527658049246737589538280332010533027062477684237933221198639948938784244510469138826808187365678322547992099715229218615475923754896960363138890331502811292427146595752813297603265829581292183917027983351121325, 14388109104985808487337749876058284426747816961971581447380608277949200244660381570568531129775053684256071819837294436069133592772543582735985866666606250660938574234958754211349215293281645205354069970790155237033436065434572020652955666855773232074749487007626050323967496732359278657193580493324467258802863, 4379499308310772821004090447650785095356643590411706358119239166662089428685562719233435615196994728767593223519226235062647670077854687031681041462632566890129595506430188602238753450337691441293042716909901692570971955078924699306873191983953501093343423248482960643055943413031768521782634679536276233318, 85256449776780591202928235662805033201684571648990042997557084658000067050672130152734911919581661523957075992761662315262685030115255938352540032297113615687815976039390537716707854569980516690246592112936796917504034711418465442893323439490171095447109457366666698873230115172636184525449905022174536414781771, 50576597458517451578431293746926099486388286246142012476814190030935689430726042810458344828563913001012415702876199708216875020997112089693759638454900092580746638631062117961876611545851157613835724635005253792316142379239047654392970415343694657580353333217547079551304966666666837545648785312490665576832987, 96868738830346666662368094632337476840272563704408573054404213766500407517251810212494515862176356916912627172280446141202661640191237336568731069327906100896178776245311689857997012187599140875912026589672629935267844696976980890380730867520071059572350667913710344648377601017758188404474812654737363275994871, 4881261656846638800623549662943393234361061827128610120046315649707078244180313661063004390750821317096754282796876479696666668644108492317407662131441224257537276274962372021273583478509416358764706098471849536036184924640593888902859441388472856822541452041181244337124767666161645827145408781917658423571721, 18237936726367556664171427575475596460727369368246286138804284742124256700367133250078608537129877968287885457417957868580553371999414227484737603688992620953200143688061024092623556471053006464123205133894607923801371986027458274343737860395496260538663183193877539815179246700525865152165600985105257601565]

考察二次剩余定理
二次剩余定理表述如下：如果p和q是两个不同的奇素数，则二次剩余x mod p可以通过奇偶性以及符号确定它是否是二次剩余mod q，具体来说：

如果p和q都是形如4k+1的素数，或者都是形如4k+3的素数，则x mod p是二次剩余mod q当且仅当q mod p是二次剩余mod p。
如果p是形如4k+1的素数，q是形如4k+3的素数，则x mod p是二次剩余mod q当且仅当q mod p是二次非剩余mod p。
如果p是形如4k+3的素数，q是形如4k+1的素数，则x mod p是二次剩余mod q当且仅当q mod p是二次剩余mod p。
二次剩余
x^2≡n(mod p)
对于这个方程，求出满足的x.

想要更好了解，推荐下：[(
https://blog.csdn.net/weixin_44203780/article/details/104634637
)]
再看这道题，直接上代码：

p = 101524035174539890485408575671085261788758965189060164484385690801466167356667036677932998889725476582421738788500738738503134356158197247473850273565349249573867251280253564698939768700489401960767007716413932851838937641880157263936985954881657889497583485535527613578457628399173971810541670838543309159139
ints = [25081841204695904475894082974192007718642931811040324543182130088804239047149283334700530600468528298920930150221871666297194395061462592781551275161695466666667049544771049769000895119729307495913024360169904315078028798025169985966732789207320203861858234048872508633514498384390497048416012928086480326832803, 45471765180330439060504647480621449634904192839383897212809808339619841633826534856109999027962620381874878086991125854247108359699799913776917227058286090426484548349388138935504299609200377899052716663351188664096302672712078508601311725863678223874157861163196340391008634419348573975841578359355931590666666, 17364140182001694956465593533200623738590196990236340894554145562517924989208719245429557645254953527658049246737589538280332010533027062477684237933221198639948938784244510469138826808187365678322547992099715229218615475923754896960363138890331502811292427146595752813297603265829581292183917027983351121325, 14388109104985808487337749876058284426747816961971581447380608277949200244660381570568531129775053684256071819837294436069133592772543582735985866666606250660938574234958754211349215293281645205354069970790155237033436065434572020652955666855773232074749487007626050323967496732359278657193580493324467258802863, 4379499308310772821004090447650785095356643590411706358119239166662089428685562719233435615196994728767593223519226235062647670077854687031681041462632566890129595506430188602238753450337691441293042716909901692570971955078924699306873191983953501093343423248482960643055943413031768521782634679536276233318, 85256449776780591202928235662805033201684571648990042997557084658000067050672130152734911919581661523957075992761662315262685030115255938352540032297113615687815976039390537716707854569980516690246592112936796917504034711418465442893323439490171095447109457366666698873230115172636184525449905022174536414781771, 50576597458517451578431293746926099486388286246142012476814190030935689430726042810458344828563913001012415702876199708216875020997112089693759638454900092580746638631062117961876611545851157613835724635005253792316142379239047654392970415343694657580353333217547079551304966666666837545648785312490665576832987, 96868738830346666662368094632337476840272563704408573054404213766500407517251810212494515862176356916912627172280446141202661640191237336568731069327906100896178776245311689857997012187599140875912026589672629935267844696976980890380730867520071059572350667913710344648377601017758188404474812654737363275994871, 4881261656846638800623549662943393234361061827128610120046315649707078244180313661063004390750821317096754282796876479696666668644108492317407662131441224257537276274962372021273583478509416358764706098471849536036184924640593888902859441388472856822541452041181244337124767666161645827145408781917658423571721, 18237936726367556664171427575475596460727369368246286138804284742124256700367133250078608537129877968287885457417957868580553371999414227484737603688992620953200143688061024092623556471053006464123205133894607923801371986027458274343737860395496260538663183193877539815179246700525865152165600985105257601565]

solution = []
for a in ints:
    result = pow(a,(p-1)//2,p)
    if result == 1:
        solution.append(ints.index(a))
        print(solution)
        flag = pow(a,(p+1)//4,p)
        print("flag=",flag)