RL 基础 | Policy Gradient 的推导
去听了 hzxu 老师的 DRL 课，感觉终于听懂了，记录一下…
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0 我们想做什么
我们想最大化的东西：
\(J(\theta) = \mathbb E_\tau[R(\tau)]\)
，其中 R 是轨迹的 reward 求和（或 discount 求和）。
我们希望，期望下的轨迹的 reward 求和（reward discounted 求和）最大。
1 三个数学 trick
①：
\(\nabla_\theta\log z = \frac1z\nabla_\theta z\)
②：
\(\mathbb E_{x\sim p(x)}[f(x)] = \int p(x)f(x)dx\)
③：
\(a/b = [a\cdot p(x)] / [b\cdot p(x)]\)
2 对单个 transition 的 policy gradient
\nabla_\theta\mathbb{E}_{a\sim p(a|s;\theta)}[r(a)]& =\nabla_\theta\sum_ap(a\mid s;\theta)r(a) \\
&=\sum_ar(a)\nabla_\theta p(a\mid s;\theta) \\
&=\sum_ar(a)p(a\mid s;\theta)\frac{\nabla_\theta p(a\mid s;\theta)}{p(a\mid s;\theta)} \\
&=\sum_a^ar(a)p(a\mid s;\theta)\nabla_\theta\log p(a\mid s;\theta) \\
&=\mathbb{E}_{a\sim p(a|s;\theta)}[r(a)\nabla_\theta\log p(a\mid s;\theta)]
\end{aligned}
\]
其中，
第一行 把单个 (s,a) 的 reward 期望写为 Σπ(a|s)r(s,a) 的形式；
第二行 认为 r(a) 是不可微分的，去微分 π(a|s)；
第三行 在分数线上下 同时塞了一个 π(a|s) （即 p(a|s;θ) ）；
第四行 因为 d log z = dz/z，原式变成 p(a|s)
\(\nabla\)
p(a|s) 了；
第五行 把 p(a|s) 塞回去，变成了 期望下的 r(s,a)
\(\nabla\)
log π(a|s)。
结论：如果想最大化期望下的 r(s,a)，可以把 r(s,a) 放
\(\nabla\)
外面，去对 log π(a|s) 求梯度。
3 对整个 trajectory 的 policy gradient
先计算 trajectory 的概率：
\[p(\tau\mid\theta)=\underbrace{\mu(s_0)}_{\text{initial state distribution}} \cdot \prod_{t=0}^{T-1}[\underbrace{\pi(a_t\mid s_t,\theta)}_{\text{policy}}\cdot\underbrace{p(s_{t+1},r_t\mid s_t,a_t)}_{\text{transition fn.}}]
\\
\]
然后，对单个 transition，我们有
\]
对于整个 trajectory 的 total reward 的梯度，应用跟 2 相同的方法（分数线上下同乘 p(τ|theta) ），可以得到
\]
现在，让我们来看
\(\nabla_\theta\log p(\tau\mid\theta)\)
。
\log p(\tau\mid\theta)& =\log\mu(s_0)+\log\prod_{t=0}^{T-1}[\pi(a_t\mid s_t,\theta)\cdot p(s_{t+1},r_t\mid s_t,a_t)] \\
&=\log\mu(s_0)+\sum_{t=0}^{T-1}\log[\pi(a_t\mid s_t,\theta)\cdot p(s_{t+1},r_t\mid s_t,a_t)] \\
&=\log\mu(s_0)+\sum_{t=0}^{T-1}[\log\pi(a_t\mid s_t,\theta)+\log p(s_{t+1},r_t\mid s_t,a_t)] \\
\end{aligned}
\]
其中，
第一行 是把 trajectory 的概率展开；
第二行 第三行 都是把 log(A×B) 变成 logA + logB；
然后发现，只有中间这一项
\(\sum_{t=0}^{T-1}\log\pi(a_t\mid s_t,\theta)\)
带 θ，因此，前后两项都不用跟 θ 求梯度了。
由此，我们得到：
\]
结论：如果想最大化期望下的 R(τ)，可以把 R(τ) 放
\(\nabla\)
外面，去求 Σ
\(\nabla\)
log π(a|s) ，即 log [action 概率] 的梯度。
4 REINFORCE 算法
- 使用策略 π(a|s;θ)，生成一个 trajectory：
\((s_0, a_0, r_1, ..., s_{T-1}, a_{T-1}, r_T)\)
； - 对每个时间步 t，计算回报：
\(R_t = \sum_{k=t+1}^{T} γ^{k-t-1} r_k\) - 更新策略参数：
\(θ = θ + α γ^t R_t ∇_θ log π(a_t|s_t;θ)\)
（算法是 GPT 生成的，看起来好像没问题）