B+树重要操作

中间节点

• 中间节点的key，与其对应的指针的原则是，小于key的元素在其指针指向的节点中
• 中间节点的key可以看成是右斜着排放的，即小于等于key的节点由key对应的指针指定，最有一个指针指向大于最右侧key的节点

分裂

• 当中间节点数量满了时，进行分裂，新生成一个相邻的中间节点right_internal_node
• 计算原先保留多少元素， 例如保留left_count = K/2
• 将left_count对应的key作为upper_key后续插入到中间节点
• 从left_count + 1下标开始，将key复制到新生成的节点中
• 将left_count下表对应的指针留在左节点
  
  • 将left_count +1 下表对应的指针开始复制到新生成的节点中

分裂后插入上层中间节点

• 经过分裂有三个重要元素：left_internal_node（也就是原先被分裂节点）, right_internal_node（新生成的节点），upper_key
• 上层中间节点为upper_internal_node
• 注意原先upper_internal_node有一个old_key和old_ptr指针指向left_internal_node，这个old_key肯定是比upper_key大的
  
  • 将(upper_key, left_internal_node)作为一对插入到upper_internal_node
  • 将old_key对应的old_ptr改成指向right_internal_node

删除

借入数据

中间节点删除数据后，如果数量少于最低值K/2，那么它可以尝试从它的相邻节点借入数据。那么它的相邻节点在哪里呢？第一类相邻节点是与中间节点共享一个父节点的节点，很容易通过其父节点找到。第二类相邻节点，不与其共享一个父节点：想象一下当节点是父节点的最左边节点时，那么在其父节点下，它只有一个右侧相邻节点，这个时候它的左侧相邻节点不在其父节点下；当节点是父节点的最右边节点时，那么在其父节点下，它只有一个左侧相邻节点，这时候它的右侧相邻节点不在其父节点下，而在右侧树分支下。

• 注意第二类的借入在实现的时候也可以不考虑，只不过这样会过早的带来节点合并。

节点合并

当节点确实从左右都没有节点可以借入数据时，那么它就可以与左右节点合并了。正因为其左右节点也没有多的节点可以借，说明其左右节点不大于K/2，那么合并后节点节点数量是会小于K的。

节点合并，我们可以总是选择与其相同父节点下的相邻节点进行合并。节点合并后，需要使父节点删除掉被合并数据的节点（需要注意的是在实际操作中，我们可以选择被删除的节点最终保留下来，也可以选择相邻节点最终保留下来，这只是实现方式）。

降级

父节点删除某个子节点后，需要检查父节点的key数量是否满足K/2要求，如果父节点不满足，那么父节点也需要执行借入动作，如果父节点无法接入，那么就需要执行合并动作。并最终出发祖父节点的删除动作。整个流程会递归上去最终可能会到根节点，若根节点删除了数据，且一个key也没有了。那么就要将其子节点设置成新的root了（奇怪？没有key还有子节点？注意中间节点指针比key多一个，就是说没有key，也至少有一个指针）。

叶子节点

插入

分裂

• 当叶子节点数量满了时，进行分裂，新生成一个相邻sibling节点
• 计算原先保留多少元素， 例如保留left_count = K/2
• 将下标left_count开始的key移动到新生成的节点
  
  • 将left_count对应的key作为upper_key后续插入到中间节点
• 将下标left_count开始的value移动到新生成的节点

分裂后插入上层中间节点

• 新分裂出的节点的第一个key为upper_key
• 如果叶子节点没有上层中间节点，那么就新建一个中间节点作为根节点，把原先叶子节点以及新分裂出的叶子节点直接插入到新的中间节点。同时将upper_key插入到新中间节点中。即它有1个key，两个指针。
• 如果有上层中间节点
  
  • 首先将upper_key插入到中间节点
  • 其次将新分裂出的节点指针也插入到中间节点，这里需要注意的是由于中间节点的指针数量比key数量多一个。所以指针插入的index要比upper_key插入的index大1
    

删除

• 删除后，尝试从其右侧的节点借数据，前提是右侧节点包含m/2 +1个元素
• 若节点（且该节点不是中间节点的最左侧节点）最左边一个元素被删除了，则需要更新中间对应的key

借入数据

借入数据的流程是简单的，与中间节点类似。找到其相邻节点并拿到数据。同样需要注意的是它的相邻节点也可能不在其父节点下。

节点合并

与中间节点的操作类似，找到相邻节点，拷贝数据。通知父节点删除一个节点即可。

要记录哪些指针

• 从B+树的定义上来看，至少每个叶子节点需要记录一个指向右侧相邻节点的指针

其他指针要不要记录呢？

• 节点是否要记录父节点指针？
• 中间节点是否要记录右侧节点的指针？
• 节点是否要记录其左侧节点的指针？

这个因设计实现而异了，记录更多的指针，那么在寻找定位的时候肯定更加容易，但是也带来了很多维护成本，这个在设计的时候做考量。

如何找到相邻的节点

相同父节点下的相邻节点

很容易，很自然，进行遍历就可以或者对key进行find或二分法（注意所有节点里面的key都是有序的）

非相同父节点下的相邻节点

• 最节点的方式是记录节点（包括中间节点）的左侧、右侧指针

另外一种方式，如果不想过多的记录指针，那么可以通过搜索回溯的方式来找目标节点到相邻节点。 某个最左侧中间节点为例：

• 从它开始往上回溯，当回溯到的节点不是其父节点的最左侧节点时，说明我们已经找到了共同祖先
• 然后从共同祖先中的左侧节点（对应下图1的左侧节点3）开始往下找其最右侧的子节点，当往下搜索的层数与向上回溯的层数相同时，我们就找到了目标节点的相邻节点。
• 最右侧中间节点的搜索过程是类似的。
  

例如想找到节点5的做相邻节点4，就往上回溯首先到1, 5是1的最左侧节点，则继续向上到2，1不是2的最左侧节点，所有2就是共同祖先了。1的左侧节点3往下，找到最右侧节点4, 4与5是相同层级的，那么就是5的相邻左节点了。

另外一个问题是如何进行回溯呢？一种实现方式是子节点记录父节点的指针；另一种实现方式是，记录搜索过程的搜索栈（即从根节点到叶子节点经过了哪些中间节点，记录到一个列表里面）。