二分查找的区间到底是开还是闭？

在这两个月的时间里，我似乎没有产出任何的有关知识点的文章，大多数都是题解相关的内容。以至于许多人觉得 Macw07 “失踪”了。本文是我来到北美之后的第一篇知识点文章，请大家多多关照。

这次不讲难的知识点了，讲一个大家都熟悉的，但又非常令人抓毛的算法：
二分查找和二分答案算法
。

引言 Introduction

注意
：本文仅针对了解过二分查找基本算法原理的用户群体，若您从未接触过或了解过该算法，请先学习基础的二分查找算法。

二分查找算法是大家一个再熟悉不过的算法了，二分查找算法可以在一个
有序数列
中高效地查找某个或多个特定的目标值。一般来说，二分查找的时间复杂度在
\(O(\log_2 N))\)
级别。二分算法非常适合在大数据集上实现快速查询。与此同时，除了基本的二分查找算法，它的许多变种也被广泛应用于各种场景，比如求最大值、最小值，甚至在复杂的数据结构中优化数据的查找性能。

许多同学肯定在学习完基本的二分查找后一直有一个疑问：我到底该如何设置
\(L\)
和
\(R\)
的区间闭合状态？什么时候需要输出
\(L\)
或
\(R\)
，为什么有时候还需要
\(+1\)
？
\(\text{Mid}\)
到底保存的是什么东西？etc.

事实上，
区间开闭的变量定义
确实是一个核心且容易混淆的问题，在 CSP 考试中也常考此知识点，因此本文将重点围绕区间开闭的变量定义来展开。

二分查找的基本原理 Basic Principles of Binary Search

在深入讨论区间开闭之前，有必要回顾一下二分查找的基本原理。二分查找通过反复将搜索区间分成两半，逐步缩小目标值所在的范围，直到找到目标值或确定其不存在。具体步骤如下：

1. 初始化
   ：设定搜索区间的左右边界
   \(L\)
   和
   \(R\)
   。

2. 计算中点
   ：计算中点
   \(M = L + \dfrac{R - L}{2}\)
   。

3. 比较

   ：将目标值与中点元素进行比较。

   
   
   • 若相等，返回中点位置。
   • 若目标值小于中点元素，缩小搜索区间至左半部分。
   • 若目标值大于中点元素，缩小搜索区间至右半部分。

4. 重复
   ：重复上述步骤，直到找到目标值或搜索区间为空。

开区间/闭区间 Open Interval/Closed Interval

在文章开始，先了解一下区间的开闭性。

开区间

定义：开区间表示区间的端点
不包含在区间内
，用小括号
\(()\)
表示。

示例：
\((2, 5)\)
表示所有介于
\(2\)
和
\(5\)
之间的数，但不包含数字
\(2\)
和
\(5\)
。

闭区间

定义：开区间表示区间的端点
包含在区间内
，用方括号
\([]\)
表示。

示例：
\([2, 5]\)
表示所有介于
\(2\)
和
\(5\)
之间的数，而且包含数字
\(2\)
和
\(5\)
。

半开区间/半闭区间

定义：半开区间或半闭区间表示区间的一个端点包含在内，另一个端点不包含在内。

示例：
\((2, 5]\)
表示所有介于
\(2\)
和
\(5\)
之间的数，且包含数字
\(5\)
，但不包含数字
\(2\)
。

区间开闭的类型 Interval Categories

在实现二分查找的时候，区间的定义是最常见的一个问题，你可能会看到过以下不同的区间开闭性的定义：

1. 左开右开
   \((\text{left}, \text{right})\)
2. 左闭右闭
   \([\text{left}, \text{right}]\)
3. 左开右闭
   \((\text{left}, \text{right}]\)
4. 左闭右开
   \([\text{left}, \text{right})\)

通常来说，我们一般会选择【左闭右开】或者【左闭右闭】的区间定义，所以本文也就着重围绕这两个部分讲解。但对于不同的定义区间，如果稍有不慎，就容易使代码进入
死循环
。

左闭右闭区间

定义
：搜索区间包括
left
和
right
，即
left
和
right
都可能是目标值。

退出条件
：
left > right
，表示搜索区间为空。

左闭右闭区间的二分查找的常见写法如下：

while (left <= right) { // 注意是 <=
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if (nums[mid] == target) {
        return mid;
    } else if (nums[mid] < target) {
        left = mid + 1; // [mid+1, right]
    } else {
        right = mid - 1; // [left, mid-1]
    }
}

左闭右开区间

定义
：搜索区间包括
left
但不包括
right
，即目标值可能是
left
，但不可能是
right
。

退出条件
：当
left == right
时，表示搜索区间为空。

左闭右开区间的二分查找的常见写法如下：

while (left < right) { // 注意是 <
    int mid = left + (right - left) / 2;
    if (nums[mid] == target) {
        return mid;
    } else if (nums[mid] < target) {
        left = mid + 1; // [mid+1, right)
    } else {
        right = mid; // [left, mid)
    }
}

两种区间的迭代过程中的差异 Differences During Iterating

left
的更新：

• 左闭右闭
  ：
  left = mid + 1
  ，因为
  mid
  已经被检查过了，
  mid+1
  开始的新区间仍是闭区间。
• 左闭右开
  ：
  left = mid + 1
  ，保持
  right
  的开区间性质。

right
的更新：

• 左闭右闭
  ：
  right = mid - 1
  ，因为
  mid
  已经被检查过了，
  mid-1
  保证了闭区间不重复。
• 左闭右开
  ：
  right = mid
  ，将
  mid
  排除，保证开区间不包含
  right
  。

退出条件：

• 左闭右闭
  ：循环结束条件为
  left > right
  。
• 左闭右开
  ：循环结束条件为
  left == right
  。

两种区间的优缺点 Pros & Cons

左闭右闭的有点

1. 直观易懂
   ：包括
   left
   和
   right
   的写法更加接近自然语言的描述，例如 “在
   \([left, right]\)
   区间查找目标值”。
2. 处理小区间
   ：对于某些需要特别处理的小区间问题，左闭右闭可以更容易描述逻辑。

左开右闭的优点

避免数组越界
：使用左闭右开区间，
right
永远是无效位置，不会直接访问数组越界的索引。

逻辑一致性
：左闭右开区间的范围在迭代过程中可以稳定保持逻辑清晰，容易与数学符号对应。

代码简洁
：由于退出条件是
left == right
，很多情况下可以直接用
left
返回结果，无需做出额外检查。

实际应用中的选择 Choosing the Right Interval in Practice

在实际应用中，选择使用左闭右闭还是左闭右开区间，往往取决于具体问题的需求和个人习惯。以下是一些指导原则：

1. 数组索引
   ：在处理数组索引时，左闭右开区间更加自然，因为数组的索引从
   0
   到
   n-1
   ，左闭右开可以避免
   n
   的无效访问。
2. 范围划分
   ：当需要频繁划分范围时，左闭右开区间的逻辑更清晰，减少了混淆和错误。
3. 边界条件
   ：如果问题中涉及到明确的边界条件，如查找第一个或最后一个满足条件的元素，选择合适的区间类型可以简化逻辑。

典型例题分析 Exemplars

1. 在数组中查找目标值，返回索引

左闭右闭实现：

int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            return mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return -1;
}

左闭右开实现：

int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            return mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid;
        }
    }
    return -1;
}

2. 在有序数组中找到目标值的插入位置

综上所述，左闭右开更适合这一场景，因为它的区间逻辑更加贴合“边界”问题：

int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid;
        }
    }
    return left; // 返回插入位置
}

复杂度分析 Complexity Analysis

二分查找的时间复杂度为
\(O(\log_2 N)\)
，空间复杂度为
\(O(1)\)
。这种高效性使得二分查找在处理大规模数据时表现出色。然而，二分查找的前提条件是数据必须是有序的，这在某些情况下可能需要额外的排序时间。

相关题目 Practice Problems

可以在阅读本文后自己实践一下以下题目：

1. 查找最接近的元素
   在一个升序序列中，查找与给定值最接近的元素。
2. 二分法求函数的零点
   已知函数在某区间内有且只有一个根，使用二分法求出该根。
3. 查找 x
   给定一个升序序列（元素均不重复），在该序列中查找指定的值，若存在则输出对应的下标，否则输出
   \(-1\)
   。
4. 二分查找
   在
   \(N\)
   个从小到大排列且不重复的整数中，快速找到指定的数字
   \(t\)
   ，若找不到则输出
   \(-1\)
   。