阅读翻译Mathematics for Machine Learning之2.8 Affine Subspaces

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• 首次发表日期：2024-07-24
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2.8 仿射空间

接下来，我们将更详细地考察从原点偏移的空间，即不再是向量子空间的空间。此外，我们还将简要讨论这些仿射空间之间映射的性质，这些映射类似于线性映射。

备注
。在机器学习文献中，线性和仿射之间的区别有时并不明确，以至于我们可以发现将仿射空间/映射称为线性空间/映射的参考文献。

2.8.1 仿射空间

定义 2.25
（仿射子空间）。设
\(V\)
为一个向量空间，
\(\boldsymbol{x}_0 \in V\)
，
\(U \subseteq V\)
为一个子空间。那么子集

称为
\(V\)
的
仿射子空间
或
线性流形（linear manifold）
。
\(U\)
称为
方向
或
方向空间（direction space）
，
\(\boldsymbol{x}_0\)
称为
支点（support point）
。在第12章中，我们将这种子空间称为超平面。

注意，如果
\(\boldsymbol{x}_0 \notin U\)
，则仿射子空间的定义排除了
\(\mathbf{0}\)
。因此，对于
\(\boldsymbol{x}_0 \notin U\)
，仿射子空间不是
\(V\)
的（线性）子空间（向量子空间）。

仿射子空间的例子有
\(\mathbb{R}^3\)
中的点、线和平面，这些点、线和平面不（一定）通过原点。

备注
。考虑向量空间
\(V\)
的两个仿射子空间
\(L = \boldsymbol{x}_0 + U\)
和
\(\tilde{L} = \tilde{\boldsymbol{x}}_0 + \tilde{U}\)
。当且仅当
\(U \subseteq \tilde{U}\)
且
\(x_0 - \tilde{x}_0 \in \tilde{U}\)
时，
\(L \subseteq \tilde{L}\)
。

仿射子空间通常由参数描述：考虑一个
\(V\)
的
\(k\)
维仿射空间
\(L = \boldsymbol{x}_0 + U\)
。如果
\(\left(\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_k\right)\)
是
\(U\)
的一个有序基，那么每个元素
\(\boldsymbol{x} \in L\)
都可以唯一地描述为

其中
\(\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{R}\)
。这种表示称为具有方向向量
\(\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_k\)
和参数
\(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\)
的
\(L\)
的参数方程。

• 一维仿射子空间称为直线，可以写作
  \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_0+\lambda \boldsymbol{b}_1\)
  ，其中
  \(\lambda \in \mathbb{R}\)
  ，
  \(U=\operatorname{span}\left[\boldsymbol{b}_1\right] \subseteq \mathbb{R}^n\)
  是
  \(\mathbb{R}^n\)
  的一维子空间。这意味着直线由一个支点
  \(\boldsymbol{x}_0\)
  和一个定义方向的向量
  \(\boldsymbol{b}_1\)
  定义。参见图 2.13 了解示意图。
• \(\mathbb{R}^n\)
  的二维仿射子空间称为平面。平面的参数方程为
  \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_0+\lambda_1 \boldsymbol{b}_1+\lambda_2 \boldsymbol{b}_2\)
  ，其中
  \(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\)
  ，
  \(U=\operatorname{span}\left[\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right] \subseteq \mathbb{R}^n\)
  。这意味着平面由一个支点
  \(\boldsymbol{x}_0\)
  和两个线性独立的向量
  \(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\)
  定义，这两个向量张成方向空间（span the direction space）。
• 在
  \(\mathbb{R}^n\)
  中，
  \((n-1)\)
  维仿射子空间被称为超平面，相应的参数方程为
  \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_0+\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i \boldsymbol{b}_i\)
  ，其中
  \(\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_{n-1}\)
  构成
  \(\mathbb{R}^n\)
  的一个
  \((n-1)\)
  维子空间
  \(U\)
  的基。这意味着超平面由一个支点
  \(\boldsymbol{x}_0\)
  和
  \((n-1)\)
  个线性独立的向量
  \(\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_{n-1}\)
  定义，这些向量张成方向空间。在
  \(\mathbb{R}^2\)
  中，直线也是超平面。在
  \(\mathbb{R}^3\)
  中，平面也是超平面。

备注
（非齐次线性方程组和仿射子空间）。对于
\(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\)
和
\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^m\)
，线性方程组
\(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{x}\)
的解要么是空集，要么是
\(\mathbb{R}^n\)
中维度为
\(n-\operatorname{rk}(\boldsymbol{A})\)
的仿射子空间。特别地，当
\(\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right) \neq (0, \ldots, 0)\)
时，线性方程
\(\lambda_1 \boldsymbol{b}_1 + \ldots + \lambda_n \boldsymbol{b}_n = \boldsymbol{x}\)
的解是
\(\mathbb{R}^n\)
中的一个超平面。

在
\(\mathbb{R}^n\)
中，每个
\(k\)
维仿射子空间都是非齐次线性方程组
\(\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}\)
的解，其中
\(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\)
，
\(\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^m\)
并且
\(\operatorname{rk}(\boldsymbol{A})=n-k\)
。回想一下，对于齐次方程组
\(\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}\)
，解是一个向量子空间，我们也可以将其视为一个特殊的仿射空间，其支点为
\(\boldsymbol{x}_0=\mathbf{0}\)
。

2.8.2 仿射映射

类似于我们在 2.7 节讨论的向量空间之间的线性映射，我们可以在两个仿射空间之间定义仿射映射。线性映射和仿射映射密切相关。因此，我们从线性映射中已经知道的许多性质，例如线性映射的复合（composition）是一个线性映射，也适用于仿射映射。

定义 2.26
（仿射映射）。对于两个向量空间
\(V, W\)
，一个线性映射
\(\Phi: V \rightarrow W\)
，以及
\(\boldsymbol{a} \in W\)
，映射

是从
\(V\)
到
\(W\)
的仿射映射。向量
\(\boldsymbol{a}\)
被称为
\(\phi\)
的平移向量。

• 每一个仿射映射
  \(\phi: V \rightarrow W\)
  也是线性映射
  \(\Phi: V \rightarrow W\)
  和
  \(W\)
  中的平移
  \(\tau: W \rightarrow W\)
  的复合，使得
  \(\phi = \tau \circ \Phi\)
  。映射
  \(\Phi\)
  和
  \(\tau\)
  是唯一确定的（uniquely determined）。
• 仿射映射
  \(\phi: V \rightarrow W, \phi^{\prime}: W \rightarrow X\)
  的复合
  \(\phi^{\prime} \circ \phi\)
  是仿射的。
• 如果
  \(\phi\)
  是双射的，仿射映射保持几何结构不变。它们还保留维度和平行性。