阅读翻译Mathematics for Machine Learning之2.8 Affine Subspaces

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  • 首次发表日期:2024-07-24
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2.8 仿射空间

接下来,我们将更详细地考察从原点偏移的空间,即不再是向量子空间的空间。此外,我们还将简要讨论这些仿射空间之间映射的性质,这些映射类似于线性映射。

备注
。在机器学习文献中,线性和仿射之间的区别有时并不明确,以至于我们可以发现将仿射空间/映射称为线性空间/映射的参考文献。

2.8.1 仿射空间

定义 2.25
(仿射子空间)。设
\(V\)
为一个向量空间,
\(\boldsymbol{x}_0 \in V\)

\(U \subseteq V\)
为一个子空间。那么子集

\[\begin{align*}
L & =\boldsymbol{x}_0+U:=\left\{\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{u}: \boldsymbol{u} \in U\right\} \tag{2.130a} \\
& =\left\{\boldsymbol{v} \in V \mid \exists \boldsymbol{u} \in U: \boldsymbol{v}=\boldsymbol{x}_0+\boldsymbol{u}\right\} \subseteq V \tag{2.130b}
\end{align*}
\]

称为
\(V\)

仿射子空间

线性流形(linear manifold)

\(U\)
称为
方向

方向空间(direction space)

\(\boldsymbol{x}_0\)
称为
支点(support point)
。在第12章中,我们将这种子空间称为超平面。

注意,如果
\(\boldsymbol{x}_0 \notin U\)
,则仿射子空间的定义排除了
\(\mathbf{0}\)
。因此,对于
\(\boldsymbol{x}_0 \notin U\)
,仿射子空间不是
\(V\)
的(线性)子空间(向量子空间)。

仿射子空间的例子有
\(\mathbb{R}^3\)
中的点、线和平面,这些点、线和平面不(一定)通过原点。

备注
。考虑向量空间
\(V\)
的两个仿射子空间
\(L = \boldsymbol{x}_0 + U\)

\(\tilde{L} = \tilde{\boldsymbol{x}}_0 + \tilde{U}\)
。当且仅当
\(U \subseteq \tilde{U}\)

\(x_0 - \tilde{x}_0 \in \tilde{U}\)
时,
\(L \subseteq \tilde{L}\)

仿射子空间通常由参数描述:考虑一个
\(V\)

\(k\)
维仿射空间
\(L = \boldsymbol{x}_0 + U\)
。如果
\(\left(\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_k\right)\)

\(U\)
的一个有序基,那么每个元素
\(\boldsymbol{x} \in L\)
都可以唯一地描述为

\[\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0+\lambda_1 \boldsymbol{b}_1+\ldots+\lambda_k \boldsymbol{b}_k,
\tag{2.131}
\]

其中
\(\lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{R}\)
。这种表示称为具有方向向量
\(\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_k\)
和参数
\(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\)

\(L\)
的参数方程。



**例 2.26(仿射子空间)**

  • 一维仿射子空间称为直线,可以写作
    \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_0+\lambda \boldsymbol{b}_1\)
    ,其中
    \(\lambda \in \mathbb{R}\)

    \(U=\operatorname{span}\left[\boldsymbol{b}_1\right] \subseteq \mathbb{R}^n\)

    \(\mathbb{R}^n\)
    的一维子空间。这意味着直线由一个支点
    \(\boldsymbol{x}_0\)
    和一个定义方向的向量
    \(\boldsymbol{b}_1\)
    定义。参见图 2.13 了解示意图。
  • \(\mathbb{R}^n\)
    的二维仿射子空间称为平面。平面的参数方程为
    \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_0+\lambda_1 \boldsymbol{b}_1+\lambda_2 \boldsymbol{b}_2\)
    ,其中
    \(\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\)

    \(U=\operatorname{span}\left[\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\right] \subseteq \mathbb{R}^n\)
    。这意味着平面由一个支点
    \(\boldsymbol{x}_0\)
    和两个线性独立的向量
    \(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2\)
    定义,这两个向量张成方向空间(span the direction space)。

  • \(\mathbb{R}^n\)
    中,
    \((n-1)\)
    维仿射子空间被称为超平面,相应的参数方程为
    \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}_0+\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_i \boldsymbol{b}_i\)
    ,其中
    \(\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_{n-1}\)
    构成
    \(\mathbb{R}^n\)
    的一个
    \((n-1)\)
    维子空间
    \(U\)
    的基。这意味着超平面由一个支点
    \(\boldsymbol{x}_0\)

    \((n-1)\)
    个线性独立的向量
    \(\boldsymbol{b}_1, \ldots, \boldsymbol{b}_{n-1}\)
    定义,这些向量张成方向空间。在
    \(\mathbb{R}^2\)
    中,直线也是超平面。在
    \(\mathbb{R}^3\)
    中,平面也是超平面。


备注
(非齐次线性方程组和仿射子空间)。对于
\(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\)

\(\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^m\)
,线性方程组
\(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{x}\)
的解要么是空集,要么是
\(\mathbb{R}^n\)
中维度为
\(n-\operatorname{rk}(\boldsymbol{A})\)
的仿射子空间。特别地,当
\(\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right) \neq (0, \ldots, 0)\)
时,线性方程
\(\lambda_1 \boldsymbol{b}_1 + \ldots + \lambda_n \boldsymbol{b}_n = \boldsymbol{x}\)
的解是
\(\mathbb{R}^n\)
中的一个超平面。


\(\mathbb{R}^n\)
中,每个
\(k\)
维仿射子空间都是非齐次线性方程组
\(\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}\)
的解,其中
\(\boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\)

\(\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^m\)
并且
\(\operatorname{rk}(\boldsymbol{A})=n-k\)
。回想一下,对于齐次方程组
\(\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}\)
,解是一个向量子空间,我们也可以将其视为一个特殊的仿射空间,其支点为
\(\boldsymbol{x}_0=\mathbf{0}\)

2.8.2 仿射映射

类似于我们在 2.7 节讨论的向量空间之间的线性映射,我们可以在两个仿射空间之间定义仿射映射。线性映射和仿射映射密切相关。因此,我们从线性映射中已经知道的许多性质,例如线性映射的复合(composition)是一个线性映射,也适用于仿射映射。

定义 2.26
(仿射映射)。对于两个向量空间
\(V, W\)
,一个线性映射
\(\Phi: V \rightarrow W\)
,以及
\(\boldsymbol{a} \in W\)
,映射

\[\begin{align*}
\phi: V & \rightarrow W \tag{2.132} \\
\boldsymbol{x} & \mapsto \boldsymbol{a} + \Phi(\boldsymbol{x}) \tag{2.133}
\end{align*}
\]

是从
\(V\)

\(W\)
的仿射映射。向量
\(\boldsymbol{a}\)
被称为
\(\phi\)
的平移向量。

  • 每一个仿射映射
    \(\phi: V \rightarrow W\)
    也是线性映射
    \(\Phi: V \rightarrow W\)

    \(W\)
    中的平移
    \(\tau: W \rightarrow W\)
    的复合,使得
    \(\phi = \tau \circ \Phi\)
    。映射
    \(\Phi\)

    \(\tau\)
    是唯一确定的(uniquely determined)。
  • 仿射映射
    \(\phi: V \rightarrow W, \phi^{\prime}: W \rightarrow X\)
    的复合
    \(\phi^{\prime} \circ \phi\)
    是仿射的。
  • 如果
    \(\phi\)
    是双射的,仿射映射保持几何结构不变。它们还保留维度和平行性。

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