巴特沃斯LPF设计（硬件电路实现）

高阶 (2n) VSVC
单位增益
巴特沃斯低通滤波器设计，可分解为 n 个二阶低通，通过对这多个二阶低通的组合优化，可提高滤波器的低通特性和稳定性。

串联的传递函数是各个二阶滤波器传递函数的乘积：
\({{\rm{H}}_{2n}}(s) = \prod\nolimits_{i - 1}^n {{H_2}^{(i)}(s)}\)
；

二阶压控电压源低通滤波器电路图：

由“虚短-虚断”得到，传输函数：
\(H(s) = {{\mathop V\nolimits_o } \over {\mathop V\nolimits_i }} = {{\mathop A\nolimits_F /\mathop R\nolimits_1 \mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_1 \mathop C\nolimits_2 } \over {\mathop s\nolimits^2 + s({1 \over {\mathop R\nolimits_1 \mathop C\nolimits_1 }} + {1 \over {\mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_1 }} + {{1 - \mathop A\nolimits_F } \over {\mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_2 }}) + {1 \over {\mathop R\nolimits_1 \mathop C\nolimits_1 \mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_2 }}}}\)
；

其中
\(s = j\omega\)
，
\(\mathop A\nolimits_F = 1 + {{\mathop R\nolimits_f } \over {\mathop R\nolimits_r }}\)
；

去归一化低通滤波器的传递函数：
\(H(s) = {{\mathop H\nolimits_0 \mathop \omega \nolimits_0^2 } \over {\mathop S\nolimits^2 + \alpha \mathop \omega \nolimits_0 S + \beta \mathop \omega \nolimits_0^2 }}\)
；

其中
\(\beta \mathop \omega \nolimits_0^2 = {1 \over {\mathop R\nolimits_1 \mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_1 \mathop C\nolimits_2 }}\)
，
\(\mathop H\nolimits_0 \mathop \omega \nolimits_0^2 = {{\mathop A\nolimits_F } \over {\mathop R\nolimits_1 \mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_1 \mathop C\nolimits_2 }}\)
，
\(\alpha \mathop \omega \nolimits_0 = {1 \over {\mathop R\nolimits_1 \mathop C\nolimits_1 }} + {1 \over {\mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_1 }} + {{1 - \mathop A\nolimits_F } \over {\mathop R\nolimits_2 \mathop C\nolimits_2 }}\)
；

\({\omega _0}\)
是截止角频率，
\(\alpha\)
、
\(\beta\)
是二项式系数，代表不同的滤波特性。

设定
\(\mathop C\nolimits_2 = k\mathop C\nolimits_1\)
，那么
\(\mathop H\nolimits_0 = \beta \mathop A\nolimits_F\)
，
\(\beta \mathop k\nolimits^2 \mathop \omega \nolimits_0^2 \mathop C\nolimits_1^2 \mathop R\nolimits_2^2 - \alpha k\mathop \omega \nolimits_0 \mathop C\nolimits_1 \mathop R\nolimits_2 + (1 + k - \mathop A\nolimits_F ) = 0\)
（关于
\({R_2}\)
的二次方程），由于
\({R_2}\)
存在实数解，则 k 必满足
\(k \le {{\mathop \alpha \nolimits^2 } \over {4\beta }} + \mathop A\nolimits_F - 1\)
;

求解可得：
\(\mathop R\nolimits_1 = {{\alpha \mp \sqrt {{\alpha ^2} - 4\beta (1 + k - {A_F})} } \over {2\beta (1 + \kappa - {{\rm A}_F}){\omega _0}{C_1}}}\)
，
\(\mathop R\nolimits_2 = {{\alpha \pm \sqrt {{\alpha ^2} - 4\beta (1 + k - {A_F})} } \over {2\beta k{\omega _0}{C_1}}}\)

选定
\({C_1}\)
，k后根据计算公式设计任意特性的VSVC低通滤波器。

归一化的巴特沃斯多项式：

对于单位增益
\(\mathop A\nolimits_F = 1\)
，二阶低通，多项式系数
\(\beta=1\)
；

那么
\(\mathop H\nolimits_0 = 1\)
，
\(k \le 0.25{\alpha ^2}\)
（k取值为
\(0.25{\alpha ^2}\)
时，VCVS二阶单位增益低通同时具有方便、低成本和稳定的优势）并且
\(\mathop R\nolimits_1 = {{\alpha \mp \sqrt {{\alpha ^2} - 4k} } \over {2k{\omega _0}{C_1}}}\)
，
\(\mathop R\nolimits_2 = {{\alpha \pm \sqrt {{\alpha ^2} - 4k} } \over {2k{\omega _0}{C_1}}}\)
。

通常情况下，为设计硬件电路方便，使得
\({R_1} = {R_2}\)
。
\({C_1}\)
的选取一般根据经验公式
\({C_1} \approx {10^{ - 3 \sim - 5}}{f_0}^{ - 1}\)
得出。

这样进一步简化为：
\({C_2} = 0.25{\alpha ^2}{C_1}\)
，
\({R_1} = {R_2} = {2 \over {\alpha {\omega _0}{C_1}}} = {1 \over {\pi \alpha {f_0}{C_1}}}\)
。

另外为运放正端提供回路补偿失调，取定
\({R_f} \ll {R_r},{R_f}//{R_r} \approx {R_f} = {R_1} + {R_2} = {2 \over {\pi \alpha {f_0}{C_1}}}\)
，到此完成了低通二阶巴特沃斯低通滤波器的参数配置。

对于高阶LPF设计，参照多项式系数和设定的截止频率即可完成。

实例仿真设计：
以截止频率为100khz，增益为1，设计四阶巴特沃斯低通滤波器：

四阶低通存在参数：
\({\alpha _1} = 0.7654,{\alpha _2} = 1.8478\)
，f=100khz，取第一级\第二级
\({C_1} = 4.7nF\)
；
得到：
第一级
\({C_2} = 0.68nF\)
，
\({R_1} = {R_2} = 884.8Ω\)
，
\({R_f} = 1769.6Ω\)
；
第二级
\({C_2} = 4.02nF\)
，
\({R_1} = {R_2} = 366.5Ω\)
，
\({R_f} = 733Ω\)
，
\({R_r}\)
取定1MΩ。Multisim仿真如下：