拉格朗日插值法
技术背景
2024年诺贝尔物理学奖和化学奖的揭幕，正式宣告了科学界对AI时代的认可，人工智能正在全方位的改变人类社会各种场景的互作模式，而数据拟合以及误差与算力的控制，则是大多数人工智能工作者所关注的重点。与数据拟合的思想不同的是，传统的数值计算中人们更倾向于使用多项式进行精确的参数计算，这种方法叫做插值。当然，插值算法的精确是相对于边界条件而言的，随着点数的变化，不同的插值算法有不同的余项。现在在模型训练中，因为数据点本身就是有误差的，所以强行使用插值算法会导致过拟合的现象。只有在一些传统的对精度要求较高的计算场景中，保留了插值算法的应用。
线性插值
给定两个点：
\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)
，其插值出来的线性函数为：
\]
稍微改写一下形式有：
\]
可以得到
\(f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2\)
。
二次插值
给定三个点：
\((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\)
，假设其插值函数为：
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
，那么可以根据三个点联立方程组，写成矩阵形式就是：
\begin{matrix}
x_1^2&&x_1&&1\\
x_2^2&&x_2&&1\\
x_3^2&&x_3&&1
\end{matrix}
\right)\left(
\begin{matrix}
a\\b\\c
\end{matrix}
\right)=\left(
\begin{matrix}
y_1\\y_2\\y_3
\end{matrix}
\right)
\]
所以求解系数
\(a,b,c\)
变成了一个矩阵求逆问题，可以手动做一个初等变换：
\left(
\begin{matrix}
x_1^2&&x_1&&1&&1&&0&&0\\
x_2^2&&x_2&&1&&0&&1&&0\\
x_3^2&&x_3&&1&&0&&0&&1
\end{matrix}
\right)&\rightarrow
\left(
\begin{matrix}
1&&\frac{1}{x_1}&&\frac{1}{x_1^2}&&\frac{1}{x_1^2}&&0&&0\\
1&&\frac{1}{x_2}&&\frac{1}{x_2^2}&&0&&\frac{1}{x_2^2}&&0\\
1&&\frac{1}{x_3}&&\frac{1}{x_3^2}&&0&&0&&\frac{1}{x_3^2}
\end{matrix}
\right)\\
&\rightarrow
\left(
\begin{matrix}
1&&\frac{1}{x_1}&&\frac{1}{x_1^2}&&\frac{1}{x_1^2}&&0&&0\\
0&&\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}&&\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1^2x_2^2}&&-\frac{1}{x_1^2}&&\frac{1}{x_2^2}&&0\\
0&&\frac{x_1-x_3}{x_1x_3}&&\frac{x_1^2-x_3^2}{x_1^2x_3^2}&&-\frac{1}{x_1^2}&&0&&\frac{1}{x_3^2}
\end{matrix}
\right)\\
&\rightarrow
\left(
\begin{matrix}
1&&\frac{1}{x_1}&&\frac{1}{x_1^2}&&\frac{1}{x_1^2}&&0&&0\\
0&&\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}&&\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1^2x_2^2}&&-\frac{1}{x_1^2}&&\frac{1}{x_2^2}&&0\\
0&&\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}&&\frac{(x_1+x_3)(x_1-x_2)}{x_1^2x_2x_3}&&-\frac{x_3(x_1-x_2)}{x_1^2x_2(x_1-x_3)}&&0&&\frac{x_1-x_2}{x_2x_3(x_1-x_3)}
\end{matrix}
\right)\\
&\rightarrow
\left(
\begin{matrix}
1&&\frac{1}{x_1}&&\frac{1}{x_1^2}&&\frac{1}{x_1^2}&&0&&0\\
0&&\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}&&\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1^2x_2^2}&&-\frac{1}{x_1^2}&&\frac{1}{x_2^2}&&0\\
0&&0&&\frac{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}{x_1x_2^2x_3}&&\frac{x_2-x_3}{x_1x_2(x_1-x_3)}&&-\frac{1}{x_2^2}&&\frac{x_1-x_2}{x_2x_3(x_1-x_3)}
\end{matrix}
\right)\\
&\rightarrow
\left(
\begin{matrix}
1&&\frac{1}{x_1}&&\frac{1}{x_1^2}&&\frac{1}{x_1^2}&&0&&0\\
0&&1&&\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}&&-\frac{x_2}{x_1(x_1-x_2)}&&\frac{x_1}{x_2(x_1-x_2)}&&0\\
0&&0&&1&&\frac{x_2x_3}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}&&-\frac{x_1x_3}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}&&\frac{x_1x_2}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}
\end{matrix}
\right)\\
&\rightarrow
\left(
\begin{matrix}
1&&\frac{1}{x_1}&&\frac{1}{x_1^2}&&\frac{1}{x_1^2}&&0&&0\\
0&&1&&0&&-\frac{x_2+x_3}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}&&\frac{x_1+x_3}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}&&-\frac{x_1+x_2}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}\\
0&&0&&1&&\frac{x_2x_3}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}&&-\frac{x_1x_3}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}&&\frac{x_1x_2}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}
\end{matrix}
\right)\\
&\rightarrow
\left(
\begin{matrix}
1&&0&&0&&\frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}&&\frac{-1}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}&&\frac{1}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}\\
0&&1&&0&&-\frac{x_2+x_3}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}&&\frac{x_1+x_3}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}&&-\frac{x_1+x_2}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}\\
0&&0&&1&&\frac{x_2x_3}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}&&-\frac{x_1x_3}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}&&\frac{x_1x_2}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}
\end{matrix}
\right)
\end{align*}
\]
也就是说，最终的逆矩阵为：
\begin{matrix}
\frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}&&\frac{-1}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}&&\frac{1}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}\\
-\frac{x_2+x_3}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}&&\frac{x_1+x_3}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}&&-\frac{x_1+x_2}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}\\
\frac{x_2x_3}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}&&-\frac{x_1x_3}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}&&\frac{x_1x_2}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}
\end{matrix}
\right)
\]
可以验证：
\begin{matrix}
x_1^2&&x_1&&1\\
x_2^2&&x_2&&1\\
x_3^2&&x_3&&1
\end{matrix}
\right)
\left(
\begin{matrix}
\frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}&&\frac{-1}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}&&\frac{1}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}\\
-\frac{x_2+x_3}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}&&\frac{x_1+x_3}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}&&-\frac{x_1+x_2}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}\\
\frac{x_2x_3}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}&&-\frac{x_1x_3}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)}&&\frac{x_1x_2}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}
\end{matrix}
\right)
=
\left(
\begin{matrix}
1&&0&&0\\
0&&1&&0\\
0&&0&&1
\end{matrix}
\right)
\]
有了逆矩阵，就可以计算参数数值
\(a,b,c\)
，那么这里我们直接写出函数形式：
\]
拉格朗日插值法
观察前面线性插值和二次插值的函数规律，可以给出一个推广形式：
\]
其中系数函数
\(c_i(x,x_1,x_2,...,x_N)=\prod_{j=1}^{i-1}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\prod_{k=i+1}^{N}\frac{x-x_k}{x_i-x_k}\)
。可以给出
\(N\)
个数据点的
\(N-1\)
次插值函数解析式，这就是拉格朗日插值法，满足
\(f(x_i)=y_i\)
的约束条件。
牛顿插值法
如果把线性插值中的函数表达式再修改一下形式，变成：
\]
类似的，二阶插值函数可以改成如下形式：
\]
如果定义一个一阶差商为：
\]
其含义为
\((x_i,x_{i+1})\)
区间内的平均变化率。有了一阶差商的定义，就可以递归的定义二阶差商：
\]
以及
\(m\)
阶的差商：
\]
则可以写出牛顿插值的函数形式为：
\]
插值形式对比
拉格朗日插值算法和牛顿插值算法，插值的阶数是一致的，同样的点数插值出来的多项式也是唯一的，换句话说两个方法插值出来的函数其实是等价的。那么两个插值算法的优劣势在哪里？我们考虑这么一种情况，原本有
\(N\)
个数据点需要插值，此时如果再引入一个新的数据点，总点数变成了
\(N+1\)
。此时如果使用的是拉格朗日插值法，那么就需要我们把所有的系数全都再算一遍。而如果使用的是牛顿插值法，那么我们发现前面的
\(N\)
个系数是不需要发生变化的，我们只需要再计算一个新的系数即可，极大程度上的减少了点数更新所带来的参数计算量。但也并不是说拉格朗日插值没有用武之地，在现如今的张量计算时代，拉格朗日插值法的每一项系数都是同Shape的张量操作，反而是牛顿插值的递归形式在张量计算中会有一些麻烦。
总结概要
本文通过线性插值和二次插值的形式，介绍了拉格朗日插值算法以及牛顿插值算法的基本形式。两种插值算法的最终函数形式是一致的，但是在不同场景下的参数求解计算量是不一致的，需要根据自己的应用场景选择更加合适的插值算法。
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